Todos estamos familiarizados con los mosaicos o azulejos, esos paneles que recubren superficies como pisos, especialmente en baños, en grupos de celdas que tienden a repetirse, mostrando un claro patrón que se puede replicar de forma constante, prácticamente de manera indefinida.
Además de este tipo de patrón, existen otros tipos de polígonos, unos que no son repetitivos y que hasta ahora se consideraba que no eran posibles de generar. Sin embargo, un técnico de impresión jubilado y matemático no profesional, David Smith, fue el primero en encontrar una de estas formas.
Entendiendo las figuras geométricas
Durante años, los matemáticos habían buscado los "mosaicos de einstein", una forma que nunca se repite. Parece que finalmente se ha encontrado, una figura de 13 lados que puede llenar una superficie infinita con un patrón que siempre será diferente.
Son completamente distintos a aquellas formas con patrones repetidos, que cuentan con una simetría traslacional, es decir, que al moverse a otra parte de un mosaico, se superponen perfectamente sin rotar ni reflejarse.
En cambio, esta nueva forma no tiene simetría de traslación, por lo que cada sección del mosaico se ve diferente a las demás.
El sombrero y su origen
Esta figura einstein, del alemán "ein stein" o "una piedra", más vagamente "una losa" o "una forma", está compuesta por ocho polígonos de cuatro lados, con dos pares de lados de igual longitud, llamada "el sombrero", por su parecido a un sombrero de fieltro, según se indica en un artículo publicado en la revista arXiv, escrito por Smith y tres coautores con experiencia tanto en matemática como en computación.
El trabajo de investigación fue realizado por Smith en gran medida a mano, utilizando en la primera etapa un programa de computadora llamado "PolyForm Puzzle Solver".
Cuando una forma tenía potencial, Smith utilizaba una máquina cortadora para hacer un lote de 32 copias en cartulina, procediendo a encajar manualmente cada ficha sin dejar espacios ni superposiciones.
Tras encontrar este patrón, el jubilado se puso en contacto con Craig Kaplan, coautor e informático de la Universidad de Waterloo, quien utilizó un algoritmo para hacer un mapa cada vez más grande usando el mosaico del sombrero, sin encontrar un límite donde la figura se repitiera.
Junto al sombrero, también se encontró un segundo einstein, al que Smith llamó "la tortuga", una forma hecha por 10 polígonos. Este patrón, aunque en principio muy parecido, reveló que toda la familia de einsteins está relacionada en una infinidad continua e incontable de formas que se transforman unas en otras.
El sombrero (izquierda) y la tortuga (derecha)
Parecidos, pero no iguales
Aunque a primera vista parece que este tipo de figuras tienen un patrón periódico, esto solo ocurre cuando se analiza una región pequeña, que da la impresión de simetría local en configuraciones que parecen repetirse.
Sin embargo, al analizar una región más amplia de su diseño, se pueden apreciar varios cambios que no se distribuyen de manera periódica, modificando pequeños elementos que hacen que no exista una repetición clara. Dicho de otra forma, cada zona examinada, aunque con partes que se asemejan, tendrá siempre una disposición diferente.
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