Qué es el "problema de los besos" que ha roto la cabeza de los matemáticos por años

El problema de los besos, o más formalmente el "kissing number problem," es una cuestión que ha mantenido a los matemáticos ocupados desde tiempos de Sir Isaac Newton. Y no, por si te lo estabas preguntando, poco tiene que ver con besar a otras personas, aunque sí con besos de tres. De tres o más esferas, al menos.

La pregunta es la siguiente: ¿cuántos círculos, esferas, hiperesferas, o más allá de eso, pueden tocar a otro círculo, esfera, hiperesfera o demás, de igual tamaño, sin que se superpongan? Aunque pueda sonar ligeramente descabellado, sus aplicaciones son impresionantes: desde la física de materiales hasta la creación de algoritmos computacionales súper optimizados. Este es el problema de los besos.

Voy a comenzar hablando de Sir Isaac Newton, quizás el físico más impresionante que alguna vez haya pisado la Tierra. En algún momento de su vida, Newton abordó el problema de los besos junto con David Gregory, matemático y académico de la Universidad de Oxford. Aunque este problema no se creó en las mentes de Newton y Gregory, sí fueron los primeros en estudiarlo a fondo en tres dimensiones.

Este problema dejó clara la genialidad de Newton, así como la diferencia que había entre él y las mentes más brillantes de su época.

Círculos, esferas e hiper-esferas

Pero ya llegaremos a eso; antes de seguir con la historia de Newton, recapitulemos un poco el problema de los besos. Quizás la manera más didáctica de visualizar el problema es pensándolo en dos dimensiones. Imaginemos que estamos en un plano, pongamos un círculo en el centro de ese plano y alrededor de él coloquemos todos los círculos posibles (del mismo tamaño al que está en el centro) que toquen en solo un punto a la otra figura y que, a su vez, no se superpongan entre ellos.

La distribución correcta y el caso límite es que no más de seis círculos pueden tocar al central sin tocarse entre ellos. De tal manera que se ve de esta forma:

Ese es el problema de los besos: identificar la cantidad de círculos (dos dimensiones), esferas (tres dimensiones), hiperesferas (cuatro dimensiones) y demás (más de 4 dimensiones) que pueden tocar a la figura central (dependiendo de las dimensiones) sin superponerse entre ellas (tocarse).

Siendo una temática de interés para la matemática y ciencia en general, hay estudios en activo para cuatro y más dimensiones. La pregunta que surge ahora es: ¿para qué nos sirve saber cuántas hiperesferas pueden tocar a otra sin superponerse? ¿A mí qué me importan los círculos, esferas e hiper-esferas?

Pues aunque en la vida diaria no sea una duda que nos mantenga despiertos por las noches (a algunos matemáticos y matemáticas probablemente sí), esta cuestión tiene unas interesantísimas aplicaciones:

• Telecomunicaciones: En redes de comunicación inalámbrica, los puntos de acceso pueden ser modelados como esferas que cubren un área. El problema de los besos puede ayudar a optimizar la cobertura y minimizar la interferencia entre señales, mejorando la manera en que transportamos información.
• Física de materiales: El empaquetamiento de átomos en una estructura cristalina puede ser analizado usando conceptos del problema de los besos. La manera en que los átomos se agrupan y tocan unos a otros influye en las propiedades físicas del material, como la densidad, dureza y conductividad. De esa manera, pueden estructurarse nuevos materiales con propiedades específicas, por ejemplo, creando aleaciones más fuertes y ligeras.
• Matemáticas: El conocimiento sobre el empaquetamiento de esferas ayuda a modelar comportamientos en sistemas complejos.
• Computación: Los principios del problema de los besos se utilizan en algoritmos de optimización para resolver problemas de empaquetamiento y cobertura en aplicaciones computacionales.
• Biología: La forma de los virus en ocasiones llega a mostrar patrones de empaquetamiento que se pueden analizar usando el problema de los besos. Esto también contribuye al entendimiento de la estructura de proteínas y otras moléculas biológicas.

"Si he visto más lejos, es porque me he parado a hombros de gigantes"

Regresando a Sir Isaac Newton. Hay una cosa que debemos tener clara de este hombre. No solo era alguien que generalmente dormía casi 18 horas al día y que se mantenía activo únicamente seis horas. No solo fundó las bases de la física clásica y creó el cálculo. No fue solo un apasionado de la alquimia y la teología (de hecho, hizo más trabajos teológicos que físicos).

Newton era, por sobre todas las cosas, una persona orgullosa de su intelecto y si alguien lo retaba, haría todo lo que estuviera en sus manos para demostrar que él, y solo él, tenía la razón. Esto podría parecer algo muy negativo para otras personas que no fueran Newton. Después de todo, no siempre puedes tener la razón. Pero la cuestión es que él, nacido en Lincolnshire, Inglaterra, siempre (o al menos casi siempre) tenía la razón.

David Gregory, aunque era seguidor del trabajo de Newton, también tenía lo suyo como científico. El momento que los dividió intelectualmente fue cuando estudiaron el problema de los besos para tres dimensiones, es decir, para esferas. De acuerdo con lo que Newton ideó, el máximo de esferas era de 12 (el doble que para dos dimensiones); por su lado, Gregory creía que eran 13.

Pese a todo, ninguno de los dos vería demostrado quién tenía razón sino hasta 1953, muchos años después de haber muerto. ¿Y quién tenía razón? Pues el único que había tenido disputas académicas e intelectuales con Leibniz, Hooke y Johann Bernoulli, tres de los más grandes de su época. Newton había triunfado una vez más.